Gewichtsbeschränkungen ab Johannesburg

[Hans Tobolla]

Hallo miteinander, hallo Jo,

 

das sind ja zwei bemerkenswerte Formelmonster. Da staunt man (ich auch) und versteht das Ganze trotzdem nicht, solange man es nicht mit seinen persönlichen Erfahrungen in Einklang gebracht hat.

Ich will nun mal versuchen, die Formel für den besten Steigwinkel etwas zu veranschaulichen.

 

Der erste Ausdruck Schub/Gewicht leuchtet sicher jedem ein, der schon einmal einen schweren Schrank die Treppe raufgeschoben hat. Bei begrenzter Körperkraft (Schub) bestimmt das Schrankgewicht den Winkel der Treppe, den man gerade noch verkraften kann.

 

Leider kann man nun beim Flugzeug (genau so wie beim Schrank) nicht den ganzen Schub zur Überwindung der Schwerkraftkomponente verwenden, weil man einen Teil davon braucht, um die Summe Widerstandskräfte auszugleichen. Das wird berücksichtigt durch den zweite Ausdruck nach dem Minuszeichen. Je größer dieser ist, desto mehr wird der max. Steigwinkel vermindert. Also muss man so fliegen, dass dieser Ausdruck möglichst minimal wird.

 

Wenn man nicht mehr durchblickt, kann man ja zuerst ein artverwandtes, einfacheres Problem zu lösen. Hier bietet es sich an, die Widerstandskräfte nicht zu berücksichtigen und auch die Flugzeugmasse während des Steigflugs nicht mehr zu beschleunigen, so dass der Schub ganz zur Überwindung der Schwerkraftkomponente zur Verfügung steht, was somit den besten Steigwinkel erzeugt.

 

Man hat dann ein rechtwinkliges Dreieck aus Gewicht, Schub und Auftrieb.

 

Sinus des besten Steigwinkels = Schub/Gewicht,

 

bester Steigwinkel = Arcussinus (Schub/Gewicht), für kleine Werte Schub/Gewicht soll die Näherung für den Arcussinus gelten:

 

bester Steigwinkel = Schub /Gewicht

 

Wenn man beim Ausrechnen den Taschenrechner nicht auf DEG sondern auf RAD (Radiant) stellt, bekommt man den Winkel im Bogenmaß und als gute Näherung für nicht allzu große Steigwinkel das Verhältnis Höhengewinn/Flugstrecke.

 

Den erste Teil von Jo’s Formel kann ich so erklären. Hinsichtlich der Berücksichtigung des Gesamtwiderstandes kenne ich mich nicht gut aus, wage aber trotzdem für den unbeschleunigten Steigflug einen Ansatz:

 

Steigwinkel = (Schub – Gesamtwiderstand bei dem Steigwinkel)/Gewicht

 

Angenommen, ich fliege den besten Steigwinkel bereits, dann soll gelten:

 

bester Steigwinkel = (Schub – Gesamtwiderstand beim besten Steigwinkel)/Gewicht

 

Aber um da hinzukommen, muss mir der Hersteller die IAS verraten, bei der ich unter Berücksichtigung der Konfiguration und der Flugzeugmasse für diesen Steigflug den geringsten Gesamtwiderstand habe. Diese IAS liegt wohl etwas unter der entsprechenden Green-Dot-Speed, denn beim Steigflug komme ich mit einem etwas geringeren Auftrieb aus als beim Horizontalflug, weil der Schub einen Teil des Flugzeugsgewichtes mitträgt.

 

Das war’s erst einmal. Ich habe nichts aus einem schlauen Buch abgeschrieben, denn ich habe gar keines, wo so etwas drinsteht. Für Fehler bin ich persönlich verantwortlich und bitte ggf. um Nachsicht.

 

 

Gruß!

 

Hans

[Manuel_Waltert]

So kann man deine Tätigkeit auch bezeichnen... :-)

 

Gruss Manuel

[Hans Tobolla]

Hi TLF,

 

ich habe noch ein wenig herumgedoktort und bin letztlich auf diese Formeln gekommen:

 

 

Gradient = ((Schub/Gewicht) – Gleitzahl)) *100% ; und

 

Winkel in Grad = 57,3*((Schub/Gewicht) – Gleitzahl)

 

Für den besten Steigwinkel sollte man die minimale Gleitzahl einsetzen und natürlich auch die IAS dafür fliegen.

 

Je größer das Verhältnis Schub/Gewicht ist, desto steiler kann das Flugzeug aufsteigen. Dieser Wert ist wegen der Verluste durch den Widerstand noch zu mindern, diese Verluste sind aber alle in der Gleitzahl berücksichtigt. Das leuchtet doch ein, oder?

 

Aber die Einfachheit hat natürlich ihren Preis. Die Formeln gelten wegen verschiedener Näherungen nicht für allzu steile Winkel, aber natürlich auch für den unbeschleunigten Sinkflug oder den unbeschleunigten Horizontalflug.

 

Gruß!

 

Hans

[TooLowFlap]

Hans, sag ich ja...Green Dot ist ja nix anderes als das die Geschwindigkeit des besten Lift/Drag Ratio - beste Gleitzahl.

 

In diesem Sinne

 

Jo

[TooLowFlap]

Bevor ich dann morgen, wenn ich etwas aufgeweckter bin mich der physikalischen Herleitung witme, hier noch ein kurzes Zitat aus meinem A340 Performance Handout (Stand Oktober 2002):

 

Three take off configurations may be used: 1+F, 2 and 3. Naturally a higher flap setting is beneficial for the ground part, especially on short runways. Flap 2 gives a good compromise for most take offs. Config 1+F may be favorable on long runways (>3300m for A340-300), when you are limited in the second segment or by an obstacle.

 

In diesem Sinne

 

Jo

[Hans Tobolla]

Hi Jo,

 

ja, das leuchtet ein. Das gilt übrigens auch für kleine Cessnas:

Bei kurzer Bahn mit Flaps 10°, bei langen Bahnen ohne Flaps.

 

Ich beschäftige mich gelegentlich gerne mal mit Formeln. Das hält fit. Dabei versuche ich so weit es geht, die Formeln so darzustellen, dass man sich darunter auch etwas vorstellen kann. Dafür nehme ich auch Näherungen in Kauf. Wenn man die Formel selbst abgeleitet hat, weiss man natürlich auch, in welchem Bereich sie gilt. Physikalisch verständlicher müsste ich den Kern meiner Formel so schreiben:

 

minus Gleitzahl plus Verhältnis Schub/Gewicht

 

Ohne Triebwerk geht es erst einmal einen bestimmten Winkel runter und mit Triebwerk geht es von dort wieder aufwärts, je nach dem, wieviel Schub pro Gewicht zur Verfügung steht.

 

Theoretisch müsste die optimale IAS für steile Winkel um ein paar Kts geringer sein als die Green-Dot-IAS für Horizontalflug. Vielleicht geben Deine Tabellen so etwas her.

 

Gruß!

 

Hans

[TooLowFlap]

Also, here we go:

 

Mit Hilfe der Grundgleichungen der Aerodynamik ergibt sich folgendes Kräftgleichgewicht (für den Fall Schubrichtung = Bahnrichtung, d.h. der Einstellwinkel wird vernachlässigt):

 

- W + S - G * sin y = 0

- A + G * cos y = 0

 

Zusammengefasst zu:

 

W = S - G * sin y

 

Mit Hilfe dieser Gleichung sowie diversen Schubbetrachtungen (füllt in meinem alten Script ca. 10 Seiten) kommt man schlussentlich zu folgenden Feststellungen:

 

1. Luftschraubenantriebe

 

Die größte Vertikalgeschwindigkeit (Steigrate) erreicht man wenn der Luftwiderstandsbeiwert/Auftriebsbeiwert²/³ (also cw / ca²/³) minimal werden. Die Geschwindigkeit errechnet sich wie folgt:

 

w = n * P / G - Vb * cw/ca²/³

 

Also Wellenleistung des Motors mal Wirkungsgrad der Schraube durch Gewicht MINUS Bezugsgeschwindigkeit * cw/ca²/³

 

Die Bezugsgeschwindigkeit ist definiert als:

 

Vb = Wurzel ( 2*G / F*rho )

 

2. Strahlantriebe:

 

Hier ist der Schub die Maßgebliche Größe und es kann folgende Gleichung verwendet werden:

 

w = V (S/G - Epsilon * cos y)

Wobei man bei kleinen Bahnwinkeln von cos y = 1 ausgehen kann!

 

Nun folgen Seitenweise Differentialgleichungen, die ich hier nicht abtippen möchte, als Fazit bleibt allerdings zu bemerken:

 

Der Auftriebsbeiwert für die maximale Steiggeschwindigkeit eines Strahlflugzeuges ist wesentlich kleiner als der für Epsilon MIN (minimaler Gleitwinkel; ist der Kehrwert der Gleitzahl), die Fluggeschwindigkeit ist also größer als V* (Green Dot Speed).

 

3. Bahnwinkel (Climb Gradient)

 

Für kleine Bahnwinkel gilt:

 

sin y = S/G - Epsilon MIN / 2 * (V²/V*² + V*²/V²)

 

Daraus folgt, dass sin y maximal wird, wenn V²/V*² + V*²/V² minmal ist (also 2 für den Fall V*=V).

 

Was zu beweisen war :-)

 

Jo

[Hans Tobolla]

Hallo miteinander, hallo Jo,

 

ich habe mir deine Formeln immer wieder mal angeschaut. Bei dieser habe ich Bedenken:

 

w = V (S/G - Epsilon * cos y) für die größte Steiggeschwindigkeit bei Jets.

 

Setzen wir mal cos y = 1 dann kann man auch so schreiben:

 

Vertikalgeschwindigkeit = Geschwindigkeit * Bahnwinkel (in Radiant)

 

Diese Formel gilt ganz allgemein für jede Geschwindigkeit bei nicht allzu großen Bahnwinkeln und sagt nicht aus, welche Geschwindigkeit bzw. Kenngrößen ich einhalten muss, um bei gegebenen Schub und Gewicht die beste Steigrate zu bekommen. Die entsprechende Formel für Propellerflugzeuge

w = n * P / G - Vb * cw/ca²/³ enthält mit cw/ca²/³ solche Kenngrößen.

 

Dazu eine kleine Erklärung für die Leser, die sich nicht allzu oft mit solchen Formeln beschäftigen. Man kann diese Formel auch etwas anders schreiben:

 

 

w = (n * P - G * Vb * cw/ca²/³)/G

 

mit Vb = Wurzel ( 2*G / F*rho )

 

w = Vertikalgeschwindigkeit, P = Wellenleistung, n = Schraubenwirkungsgrad, cw = Widerstandsbeiwert für das Flugzeug, ca = Auftriebsbeiwert für das Flugzeug, G = Gewicht, F = Fläche der Flügel, rho = Luftdichte.

 

 

 

Die Grundlage für diese Formel ist der einfache Zusammenhang

 

Vertikalgeschwindigkeit = Hubleistung/Gewicht

 

Als Hubleistung kann man nun nicht einfach die vom Triebwerk mit Luftschraube bereitgestellte Leistung ( P*n) einsetzen, sondern man muss berücksichtigen, dass davon noch ein erheblicher Teil benötigt wird, um die Widerstandskräfte zu überwinden.

 

Diese Leistung zur Überwindung der Widerstandskräfte wird mit dem Ausdruck G * Vb * cw/ca²/³ bestimmt und ist die Leistung, die für einen unbeschleunigten Horizontalflug bei einer bestimmten Geschwindigkeit gebraucht wird. Also ist

n * P minus G * Vb * cw/ca²/³ als Hubleistung einzusetzen.

 

An dem etwas kompliziert erscheinenden Faktor cw/ca²/³ sollte man sich stören, der ergibt sich einfach durch algebraische Umformungen. Er ist abhängig von der Geschwindigkeit bei einem bestimmten Gewicht und ein Maß für die „aerodynamische Güte“ eines Flugzeugs. Je geringer, desto besser. Bei geringen Geschwindigkeiten ist er wegen des großen Anstellwinkels ziemlich hoch, dann nimmt er ab und bei hohen Geschwindigkeiten wieder zu.

 

Wie der Jo schon geschrieben hat, sollte man für die beste Vertikalgeschwindigkeit eine Geschwindigkeit fliegen, bei der cw/ca²/³ minimal wird, denn dann bleibt am meisten von der Triebwerkleistung zum Heben des Flugzeugs übrig.

 

Diese Geschwindigkeit sollte man besser nicht unterschreiten, wenn man optimal steigen will, besonders dann nicht, wenn das Flugzeug voll beladen ist.

 

Viele Grüße!

 

Hans