Frage an die Mathe-Versierten

[josch]

Hallo,

 

Angesichts meiner Beobachtungen auf flightradar24.com und zeitgleich dem realen Himmel frage ich mich, über welche Distanz man Airliner enroute nachverfolgen kann, bis sie hinter dem Horizont bzw. der Kimm verschwinden.

 

Angenommen, ich befinde mich auf Meereshöhe und schaue einem Airliner auf 30.000 ft nach (Referenzpunkt 1). Wieviele Kilometer in Bezug auf das Bogenmass (Referenzpunkt 2 ist unter dem Flugzeug auf der Erdoberfläche, lotrecht zum Erdmittelpunkt) kann ich ihn bei klaren Sichtverhältnissen maximal sehen, bis er verschwunden ist?

 

Meine Matura liegt halt schon irgendwas mit mehr als 16 Jahren zurück. :005:

flightradar24 als "Messinstrument" erscheint mir zu vage - da es immer wieder Verzögerungen und Abweichungen gibt.

 

Gruß

Johannes

[Thomas Linz]

geht recht simpel, wenn Du aufHöhe 0 stehst und nur den Punkt 0 berechnen möchtest, an dem das Flugzeug mit Deiner Schwiegermutter an Board am Horizont auftaucht und Du mit dem Winken beginnen mußt.

 

Dann gilt:

 

s(0)=arccos(R/R+h)

 

s=Schwiegermutterentfernung

R=Erdradius

h=Höhe der Schwiegermutter

 

Mit bloßen Augen wirst Du das Flugzeug aber nicht bis zum Horizont verfolgen können, vermutlich nicht mal mit einem Teleskop. Informiere Dich also bitte vorher bei ATC, wie hoch Deine Schwiegermutter fliegt, damit Du nicht das winken zum letztmöglichen Zeitpunkt verpasst! Naja, dennoch viel Spaß :D

[Danix]

Da gibt es eine mathematische Antwort - und dann gibt es eine praktische.

 

Flugzeuge über 10 NM kann man in der Regel nicht sehen oder nur bei ganz günstigen Wetterbedingungen (guter Kontrast, Reflexionen, Kondens...)

 

Kommt natürlich auf die Grösse drauf an. Die Faustregel gilt für Airliner und wenn der Beobachter auf Reiseflughöhe ist. Vom Boden durch den Dunst evtl ein bisschen schlechter (dafür besserer Kontrast gegen den Himmel)

 

hth,

Dani

[fm70]

s(0)=arccos(R/R+h)

Einspruch, Euer Ehren! arccos ergibt einen Winkel und keine Strecke, folglich kann diese Gleichung schon vom Schiff aus nicht stimmen. Aber versuch's doch mal ganz banal mit dem Pythagoras.

[Lawnmower]

Thomas hat schon recht, Johannes hat ja explizit nach dem Bogenmass (Masseinheit für Winkel) gefragt. Pythagoras würde dir die Distanz in Luftlinie zum Flugzeug geben, nicht der in der Frage beschriebene "Referenzpunkt 2".

 

grues

Stefan

[tamiko]

Ich hab mir die Formeln jetzt nur im Kopf als kleines Gedankenexperiment zusammengerätselt, für eine erklärende Grafiksuche/erstellung ist es heute leider schon zu spät :006:

 

Meine Lösung basiert jedenfalls auch auf einem gedachten rechtwinkeligen Dreieck (Tangente). Stellt euch den Flugzeugbeobachter (josch) am Nordpol vor

 

R=Erdradius=6370km

r=Erdradius+Flugzeughöhe(FL300~10km)=6380km (Hypotenuse)

 

cosinus(alpha)=ankathete/hypotenuse=R/r

=> alpha=arccos(6370/6380km)=3,21°

 

sinus(alpha)=gegenkathete/hypotenuse => gegenkathete=sinus(alpha)*hypotenuse

 

gegenkathete=357,07km

 

 

 

 

EDIT: Herrje, wieso hab ich da jetzt eigentlich mit Trigonometrie angefangen? Es geht ja tatsächlich viel einfacher mit dem "guten alten" Phytagoras... a²+b²=c²

b²=c²-a²=(6380km)²-(6370km)²=127500 => davon die Wurzel ergibt ebenfalls........ 357,07km

 

 

 

 

Lösung: Ein Flugzeug in 10km Höhe wäre bei einem Standpunkt auf Meeresniveau bis in eine Entfernung von 357km (~~192,8NM) "sichtbar", bevor es hinter dem Horizont verschwindet.

 

 

Ich nehme an Johannes, es geht dir um die Kondensstreifen? Denn wie Danix schon erläutert hat, ist eine visuelle Identifikation selbst vom Airlinecockpit aus bei >10NM so gut wie ausgeschlossen :)

 

LG,

Joseph

[fm70]

Thomas hat schon recht, Johannes hat ja explizit nach dem Bogenmass (Masseinheit für Winkel) gefragt. Pythagoras würde dir die Distanz in Luftlinie zum Flugzeug geben, nicht der in der Frage beschriebene "Referenzpunkt 2".

Naja, ich muss zugeben dass ich die Frage:

Wieviele Kilometer in Bezug auf das Bogenmass (Referenzpunkt 2 ist unter dem Flugzeug auf der Erdoberfläche, lotrecht zum Erdmittelpunkt) kann ich ihn bei klaren Sichtverhältnissen maximal sehen, bis er verschwunden ist?

schlicht nicht verstehe. Darum habe ich das naheliegendste beantwortet, nämlich die Distanz zum Flugzeug. Aber falls Johannes die Distanz entlang der Erdoberfläche gemeint hat (wilde Spekulation meinerseits), dann ist der Unterschied vernachlässigbar; wenn man es wirklich so genau wissen will, dann muss man dann auch die Körpergrösse des Beobachters berücksichtigen und die Tatsache, dass die Erde keine Kugel sondern eine Kartoffel ist. Aber vielleicht kann mir ja jemand die Frage erklären.

[Mäge]

Ich hatte gerade Zeit und Lust, mir das zu überlegen. Eine Zeichnung wirkt hier Wunder:

 

 

Das Flugzeug (meinetwegen mit Schwiegermutter an Bord) fliegt auf dem Kreis (---) in Höhe h um die Erde (Erdradius r). Der Beobachter (oder Schwiegersohn) steht im Punkt C auf Höhe 0 und guckt in Richtung des Pfeiles (-.-) nach rechts. Sobald das Flugzeug in Punkt B ankommt, kann er es (rein trigonometrisch betrachtet) sehen. Man erkennt einfach, dass es sich beim Dreieck (A,B,C) um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, da der Beobachter ja tangential von seinem Standpunkt aus wegschaut.

 

Thomas hatte also durchaus recht mit alpha = arccos(r/(r+h)), auch wenn sich eine Klammer um den Nenner noch gut machen würde :005:

 

Ich bin aber auch nicht sicher, ob ich die Frage richtig verstanden habe. Falls es darum gehen sollte, die Länge des Kreisbogens L zu berechnen, müsste man den Winkel alpha noch mit dem Erdradius multiplizieren, also L = r*arccos(r/(r+h)).

[fm70]

Falls es darum gehen sollte, die Länge des Kreisbogens L zu berechnen, müsste man den Winkel alpha noch mit dem Erdradius multiplizieren

Eben. Und jetzt berechne mal den Unterschied zwischen a und L für realisische Flughöhen.

[josch]

Hallo Leute!

 

Zuerst mal vielen Dank für Eure Inputs!!

 

Mäges Zeichnung trifft die Sache wirklich sehr gut. Einzig, dass sich das Flugzeug im Uhrzeigersinn von C fortbewegt, aber das wurde im Text wieder richtig dargestellt ;)

 

Und es ging tatsächlich um L (also das Bogenmass).

 

Gruß

Johannes

[Lawnmower]

Das mit der fehlenden Klammer hatte ich doch glatt übersehen.

 

Zu den Begriffen:

Bogenmass: Winkelmass mit der (dimensionslosen) Einheit Radiant. Also in der Grafik α.

Kreisbogen: Auschnitt eines Kreises zwischen zwei Punkten. Also in der Grafik L.

 

grues

Stefan

[Mäge]

Eben. Und jetzt berechne mal den Unterschied zwischen a und L für realisische Flughöhen.

Schon klar... Das alleine hindert mich jedoch nicht daran, die Fragestellung trotzdem mal theoretisch anzugehen, zumal ja explizit nach einer mathematischen Betrachtung gefragt wurde :005:

[fm70]

Schon klar... Das alleine hindert mich jedoch nicht daran, die Fragestellung trotzdem mal theoretisch anzugehen, zumal ja explizit nach einer mathematischen Betrachtung gefragt wurde

Eines der wichtigsten Dinge in der angewandten Mathematik ist, zu entscheiden, wann welche Näherung sinnvoll ist. Aber gut: Wenn Du es tatsächlich "exakt" haben willst, dann ist diese Formel natürlich genau so falsch wie der Pythagoras. Dann musst Du wie schon weiter oben erwähnt auch die Augenhöhe berücksichtigen sowie die Tatsache, dass die Erde keine Kugel sondern eine Kartoffel ist. Und je nach Beschaffenheit der Atmosphäre wird das Licht dann auch noch gebeugt und/oder gebrochen.

[Mäge]

Eines der wichtigsten Dinge in der angewandten Mathematik ist, zu entscheiden, wann welche Näherung sinnvoll ist. Aber gut: Wenn Du es tatsächlich "exakt" haben willst, dann ist diese Formel natürlich genau so falsch wie der Pythagoras. Dann musst Du wie schon weiter oben erwähnt auch die Augenhöhe berücksichtigen sowie die Tatsache, dass die Erde keine Kugel sondern eine Kartoffel ist. Und je nach Beschaffenheit der Atmosphäre wird das Licht dann auch noch gebeugt und/oder gebrochen.

Fritz, Du hast ja absolut Recht.

 

Es ist völlig klar, auch die von mir gewählte Betrachtung ist schlussendlich nur eine Näherung (ich habe im Übrigen nie von einer "exakten" Betrachtung gesprochen). Meiner Meinung nach aber die sinnvollste, um die gestellte Frage zu beantworten und das Prinzip dahinter zu veranschaulichen. Ich denke, das Prinzip zu verstehen ist für den Fragesteller hier interessanter, als so schnell und mit so wenig Aufwand wie möglich eine (zugegeben zureichend genaue) Lösung präsentiert zu bekommen.

[Thomas Linz]

Eines der wichtigsten Dinge in der angewandten Mathematik ist, zu entscheiden, wann welche Näherung sinnvoll ist. Aber gut: Wenn Du es tatsächlich "exakt" haben willst, dann ist diese Formel natürlich genau so falsch wie der Pythagoras. Dann musst Du wie schon weiter oben erwähnt auch die Augenhöhe berücksichtigen sowie die Tatsache, dass die Erde keine Kugel sondern eine Kartoffel ist. Und je nach Beschaffenheit der Atmosphäre wird das Licht dann auch noch gebeugt und/oder gebrochen.

 

Dann mußt Du aber auch die Beugung des Lichts durch die Erdgravitation mit einrechnen. Und da die Luft kein konsistentes Medium ist, gibt es keine eineindeutige matemathische Lösung des Problems, bzw. eine nur begrenzt gültige Lösung. Da Josch seine Schwiegermutter vermutlich in Zürich und nicht im Hafen von Hamburg empfangen will, ist auch der Satz des Pythagoras nicht mehr verwendbar, dann wird alles etwas komplizierter, aber dennoch lösbar. Die Formel hierzu findet man vermutlich sehr leicht im Internet. Alles in allem würde ich vorschlagen, den Lösungsansatz auf Trigonometrie zu beschränken, alle anderen Abweichungen wird auch die garstigste Schwiegermutter tolerieren. Im Notfall halt etwas eher winken, als berechnet.

 

Liebe Grüße

Thomas, (((der sich noch vielmals für die vergessene Klammer entschuldigt.))) :D

[Danix]

Dann musst Du wie schon weiter oben erwähnt auch die Augenhöhe berücksichtigen sowie die Tatsache, dass die Erde keine Kugel sondern eine Kartoffel ist. Und je nach Beschaffenheit der Atmosphäre wird das Licht dann auch noch gebeugt und/oder gebrochen.

 

Viel wichtiger als diese Störfaktoren sind Hindernisse:

 

• Berge

• Häuser

• Schiffe

• Wolken

[josch]

(...) alle anderen Abweichungen wird auch die garstigste Schwiegermutter tolerieren.

 

Hab' ich keine - derzeit nicht mal in spe :005:

Und wenn ja, dann würde das alles wenig bringen, denn dann setzte ich sie in einen Nacht-Cargoflug nach Timbuktu, und des Nächtens verlieren auf weite Distanzen die Strobes gegen den Kondensstreifen zu Tage - von wegen Sichtbarkeit mit freiem Auge ;)

 

Gruß

Johannes

 

P.S.: Ehrlich gesagt haben mich "Schwiegerväter" immer mehr gestört. So Heimwerker-Kings, die einem Comupterkid wie mir mit dem Werkzeuggurt und diversen Häusle-baue-Topics daherkamen...who the fu** wants to know!? :D

[Ted]

Ich werde meiner Schwiegermutter, 91-Jährig oder so, alle Berechnungen auf diesem Thread übermitteln.

 

Und sollte sie nichts verstehen, muss sie leider zuhause bleiben.;)

[bleuair]

Es muss Zufall sein, dass ich im Threadtitel "Frage an die Mathe-Versehrten" las und mich angesprochen fühlte. Der Inhalt des Threads erinnerte mich dann lebhaft an die selbst durchlebte dunkle Zeit in der Schule...... :eek: :o :009: :005:

[Maxrpm]

Das gilt alles aber nur falls die Erde wirklich eine Kugel sein sollte!

 

Wolfgang

[ILS28]

Da kommt mir nur die berühmte Fussnote aus einem meiner Lehrbücher in den Sinn:

Der bekannte Spruch, wonach der Elefant im Urwald mit einer ideal leitenden Kugel im Vakuum approximiert werden müsse, hat eine gewisse Berechtigung, wenn nur analytische Methoden zugelassen werden.^2

 

2: In der theoretischen Physik ersetzt man eine Kuh durch eine Kugel, die in alle Raumrichtungen isotrop Milch abgibt, zumindest in erster Näherung.

 

(Leuchtmann, Pascal; Einführung in die elektromagnetische Feldtheorie; Pearson Studium, 2005, p.163)

 

:005:,

Dominik

[Maxrpm]

Das war aber ein ziemlich praxisorientiertes Lehrbuch. Wir hätten die Kuh in erster Näherung punktförmig angenommen. Die austretende Milch nicht isotrop sondern als singuläres Wellenpaket.

 

Wolfgang

[josch]

Das gilt alles aber nur falls die Erde wirklich eine Kugel sein sollte!

 

Schon klar - für die advancte Berechnung müsste man von einem Ellipsoid ausgehen, aber das führte hier wohl zu weit - und so mancher "Versehrte" bekäme nächtliche Alpträume von längst vergangenen Mathematikschularbeiten ;)

 

Gruß

Johannes

[Thomas Linz]

Schon klar - für die advancte Berechnung müsste man von einem Ellipsoid ausgehen, aber das führte hier wohl zu weit - und so mancher "Versehrte" bekäme nächtliche Alpträume von längst vergangenen Mathematikschularbeiten ;)

 

Gruß

Johannes

 

Die plattgequetschte Erde würde weniger ein mathematisches Problem darstellen (genaugenommen gar keins) als die Punkte der Chaostheoerie. Also z.B. wie bewegen sich die Luftteilchen und welche Lichtbeugung entsteht daraus. Aber in wohlweislicher Voraussicht hatten wir ja schon geschrieben, diese Aspekte zu vernachlässigen zu wollen. Siehe auch die kugelrunde ISO-Kuh, die in alle Richtungen Milch abgibt.

 

Gruß

Thomas