Reichweite berechnen

[JaquesB]

Guten Tag allerseits,

 

ich habe eine Frage und die leichte Hoffnung den ein oder anderen Experten hier zu finden der mir eventuell ein wenig Hilfe leisten könnte. Und zwar geht es um eine Aufgabe, bei der mithilfe der Breguet’sche Reichweitenformel die Reichweite eines Flugzeuges berechnet werden soll. Dazu habe ich folgende Werte für die Berechnung: Nullwiderstandsbeiwert: 𝑐W0 = 0,02, Auftriebsbeiwert: 𝑐A = 0,6882, Tragflügelstreckung:Λ = 9, Oswald-Faktor: 𝑒 = 0,92, Höchstabflugmasse: 𝑚MTOM = 250 t, Leertankmasse:𝑚ZFM = 185 t, Treibstoffmasse: 𝑚F = 65 t, Spez.Treibstoffverbrauch:𝑆𝐹𝐶 = 1,5 ∙ 10^−5 kg/Ns, Reisefluggeschwindigkeit: 𝑣G = 244m/s, Reiseflughöhe: H=10,3 km , Gleitzahl: 𝜀 = 0,0555, aerodynamische Güte E=18 , Widerstandsbeiwert 𝑐W=0,0382

[Dierk]

Reichweite = (V (L/D) / (g * SFC)) * ln ( Wi / Wf)

 

Reichweite = (244 m/s * (0.6882 / 0.0382) / (9.81 m/s2 * 0.000015 kg/Ns )) * ln (250 t / 185 t) 

 

Reichweite = 8994954.407 m = 8994.954 km = 4862.138 NM

 

Fuel flow [kg/s] = 65 000 kg / (8994954.407 m / 244 m/s) = 1.76321 kg/s = 6'347.56 kg/h 

Fuel flow [l/h] = 6'347.56 / 0.73 l/h =  8695.29 l/h  

 

Vorsicht, ich habe eigentlich keine Ahnung davon, wollte es aber mal versuchen, um zu schauen, ob der Kopf noch funktioniert. Bitte mit diesem Ergebnis keine Flugzeuge bauen. 

 

Microsoft Word - BreguetNotes_1_copy.doc (mit.edu)

 

 

bin mir übrigens nicht sicher, ob die 244 m/s so verwendet werden dürfen, da sie im transsonischen Bereich liegen. In etwa erwartete Schallgeschwindigkeit bei -50°C: 300 m/s 

d.h. 244/300 = Mach 0.81 

 

wie gesagt, habe keine Ahnung davon

 

Bearbeitet 16. Februar von Dierk

[ArminZ]

Hallo Jacques, vielleicht kannst Du die exakte Frage (im Wortlaut) hier posten, und eventuell auch erklären, womit genau Du Probleme hast?

 

EDIT:

Mit der Formel aus wiki  und dem Wissen, dass SCF (aufgrund der Einheit [kg/Ns]) schubspezifischer Brennstoffverbrauch ist, nimmt man die "Breguet’sche Reichweitenformel mit Strahlantrieb". Der Wert für die Reichweite wurde oben von Dierk schon erwähnt.

 

Bearbeitet 17. Februar von ArminZ

[Dierk]

Der englischsprachige Wiki-Eintrag zur Breguet-Formel enthält einige weitere Hinweise sowie einen interessanten Link.

 

Da die Breguet-Formel offenbar nur den Reiseflug in Reiseflughöhe betrifft, wäre zunächst zu fragen, wieviel Gewicht der Flieger bis zum Erreichen der Reiseflughöhe durch Verbrennen von Treibstoff verliert und ab welchem Gewicht (minimal Fuel reserve) der Sinkflug eingeleitet wird, entsprechend müssen die eingesetzten Werte korrigiert werden. Oben wurden einfach die MTOW in Tonnen eingesetzt, was wohl doppelt falsch ist, da die Masse formal nicht in Newton umgerechnet wurde (da es sich um einen Bruch handelt, kürzt es sich allerdings raus), und ausserdem so getan wurde, als würde der Start in Reiseflughöhe beginnen, und nach Aufbrauchen allen Kraftstoffs in Reiseflughöhe enden, ohne Strecke oder Kraftstoffverbrauch für Steigen und Sinken zu berücksichtigen. Ausserdem wurde auch der Verbrauch für Taxi und Betreiben diverser Hilfsaggregate am Boden nicht berücksichtigt. 

 

Es gab tatsächlich experimentelle Flugzeuge, die von einem grösseren Flugzeug „Huckepack“ auf Reiseflughöhe gebracht wurden, um dann ausgeklinkt zu werden, bei der Massenangabe von 250 t MTOW hier jedoch unwahrscheinlich.

 

Dann scheint offenbar die Angabe einer fixen Reiseflughöhe nicht mit der Breguet-Formel kompatibel zu sein, da aufgrund des Massenverlusts der Flieger bei gleichem Schub im Flugverlauf steigen müsste (und dann in eine höhere Flughöhe gerät, wo evtl. eine um ein paar Grad geringfügig tiefere Temperatur herrschen wird, was die Schallgeschwindigkeit geringfügig beeinflusst sowie eine geringere Luftdichte herrscht, was wiederum die Fluggeschwindigkeit geringfügig beeinflusst). Die Treiber würden jedoch konstanten Schub und konstanten Fuel flow liefern. Höhere Fluggeschwindigkeit bei gleichem Fuel flow = mehr Reichweite.

 

Hier mal der Link aus der engl. Wiki, der ein gerechnetes Beispiel für eine Boing enthält:

 

http://imartinez.etsiae.upm.es/~isidoro/bk3/c17/Aircraft propulsion.pdf#page29

 

mit Formeln zur Bestimmung des Fluggewichts bei Beginn und Ende des Reiseflugs

 

Die Frage ist, wie genau soll das Ergebnis sein, ist mit Reichweite die Distanz zwischen Startplatz und Landeplatz gemeint bei Ausfliegen der Tanks oder bei Einhalten legal erforderlichen Reserven usw. oder wird nur Einsetzen in die Breguet-Formel gewünscht mit einer Reichweite für das Reiseflugsegment?

 

 

 

Bearbeitet 17. Februar von Dierk
Masse

[JaquesB]

Zunächst einmal danke für die Antworten und Hilfsbereitschaft.

Das gesuchte Ergebnis soll 9025km sein. Der genaue Wortlaut der Aufgabe ist der folgende: „ Für ein Flugzeug mit nachfolgenden Daten soll die Reichweite nach Breguet bestimmt“. Ich komme auch immer auf das Ergebnis 8695.29 und habe daher das Gefühl irgendwo einen Schritt zur Berechnung ausgelassen zu haben was mir den Kopf zerbricht. 

[Dierk]

vor 6 Stunden schrieb JaquesB:

Zunächst einmal danke für die Antworten und Hilfsbereitschaft.

Das gesuchte Ergebnis soll 9025km sein. Der genaue Wortlaut der Aufgabe ist der folgende: „ Für ein Flugzeug mit nachfolgenden Daten soll die Reichweite nach Breguet bestimmt“. Ich komme auch immer auf das Ergebnis 8695.29 und habe daher das Gefühl irgendwo einen Schritt zur Berechnung ausgelassen zu haben was mir den Kopf zerbricht. 

Interessant.

 

Ich habe diesmal Gemini gefragt, wie hoch die Erdanziehungskraft in 10.3 km Höhe über Grund ist. Die Antwort: 

 

Zitat

In 10,3 km Höhe über Grund beträgt die Erdanziehungskraft 9,76 m/s².

Dies entspricht etwa 99,67% der Erdanziehungskraft auf Meereshöhe (9,81 m/s²).

Die Erdanziehungskraft nimmt mit dem Abstand vom Erdmittelpunkt ab. Die Abnahme folgt dem Gravitationsgesetz.

Formel:

g = G * (m_E / r²)

 

Wenn man nun 9,76 m/s2 in die Breguet‘sche Formel einsetzt?

 

Ich war diesmal zu faul, das selber zu rechnen.

 

Can you calculate this: (244 * (0.6882 / 0.0382) / (9.76 * 0.000015 )) * LN (250 / 185 ) 

 

Zitat

Absolutely, I can help you calculate this expression.

Here's the calculation:

Python

import math

# Define the values
a = 244
b = 0.6882
c = 0.0382
g = 9.76
h = 0.000015
p1 = 250
p2 = 185

# Calculate the expression
result = (a * (b / c) / (g * h)) * math.log(p1 / p2)

# Print the result
print(result)

This code outputs the following result:

9041035.115789479

Therefore, the answer to the expression is approximately 9,041,035.12.

 

das sind Meter, also wären das 9041 km. 

 

Ok, das sind immer noch nicht die 9025 km. Aber näher dran…

[Dierk]

Vielleicht sind es auch Rundungsfehler? Nimmt man nicht die gerundeten 9.76 m/s2 sondern übernimmt man den exakten Wert mit allen Nachkommastellen

 

Zitat

Python

import math

# Define the values
a = 244
b = 0.6882  
c = 0.0382
g = 6.67430 * 10**(-11) * 5.97237 * 10**(24) / (6381.3 * 10**3)**2  # Provided value for g
h = 0.000015
p1 = 250
p2 = 185

# Calculate the expression
result = (a * (b / c) / (g * h)) * math.log(p1 / p2)

# Print the result
print(result)

This code outputs the following result:

9014338.646628669

Therefore, the answer to the expression is approximately 9,014,338.65.

 

kommt Gemini auf 9014 km

 

bei g = 6,67430 × 10^(-11) m³/kg s² * (5,97237 × 10^(24) kg) / (6381,3 km)²

Bearbeitet 18. Februar von Dierk

[JaquesB]

Der Fehler muss irgendwo anders liegen, ich habe eben auch noch bemerkt, dass im Anhang eine Tabelle zur Standardatmosphäre mit dabei ist. Nur leider weiss ich mit der nichts anzufangen könnte diese der Schlüssel zur Lösung sein ? Ich bin ja zunächst davon ausgegangen, dass ich eventuell die Einheiten noch ändern müsste oder etwas in der Art. Aber ich denke ein Schritt wurde vergessen oder ausgelassen. Ich habe leider auch keine ähnliche Aufgabe zum Vergleich finden können.

[Dierk]

Die Standardatmosphäre definiert den Temperaturverlauf. Erst bei 11 km Höhe ist die Temperaturabnahme mit der Höhe Null Kelvin.

 

Zitat

Die ICAO-Standardatmosphäre (ISA) zeigt eine lineare Temperaturabnahme von 0,65 K pro 100 m bis zur Tropopause in 11 km Höhe. Von 11 bis 20 km bleibt die Temperatur der ISA dann konstant.

 

https://www.dwd.de/DE/service/lexikon/begriffe/S/Standardatmosphaere_pdf

 

Somit könnte die Temperatur bei 10.3 km Höhe errechnet und damit die Schallgeschwindigkeit bei 10.3 km Höhe exakt bestimmt werden.

 

15 - (10.3 * 0.65 * 10) = -51.95 Grad Celsius 

 

Das wäre nötig gewesen, wenn die Fluggeschwindigkeit mit einer Machzahl angegeben worden wäre, um dann den genauen Wert der Fluggeschwindigkeit in m/s zu ermitteln, da die Schallgeschwindigkeit temperaturabhängig ist. Die Fluggeschwindigkeit liegt aber bereits in m/s vor. Ich bin der Meinung die Geschwindigkeit muss daher nicht weiter korrigiert werden (im Gegensatz zu einem Mach-Wert).

 

Wie gesagt, kenne ich mich mit dem transsonischen Bereich nicht wirklich aus. 

 

Bearbeitet 18. Februar von Dierk

[JaquesB]

Hmm das weiss ich wirklich nicht wo ich den Fehler noch finden könnte. Ich komme immer wieder auf die 8987.11 Km

[Dierk]

vor 16 Minuten schrieb JaquesB:

Hmm das weiss ich wirklich nicht wo ich den Fehler noch finden könnte. Ich komme immer wieder auf die 8987.11 Km

 

Mit welchem Wert für g? 

 

edit: Die Rechnungen und Parameter von Gemini müssen nicht unbedingt korrekt sein. 

Bearbeitet 18. Februar von Dierk

[JaquesB]

9,81 und mit g=9,7749 kommt ich dem gesuchten Ergebnis etwas näher damit gelange ich zu einem Ergebnis von 9019,38 Km. Also etwas näher 

[Dierk]

mit empirisch gefundenen 9.777336 m/s² kommen 9025.00 km raus, die Frage ist nun: ist die Erdanziehung auf einer Flughöhe von 10.3 km tatsächlich 9.777336 m/s² ?

 

Wo soll das Flugzeug entlang fliegen?

 

Zitat

Auf Meereshöhe ist am Äquator g=9,780 m/s^2, am 45ten Breitengrad g=9,807 m/s² und am Pol  g=9,832 m/s². Mit jedem zusätzlichen Höhenmeter nimmt g um etwa 3*10 ^-6 m/s² ab, solange h klein gegen den  Erdradius ist.

 

Warum gibt es auf der Erde unterschiedliche Gravitation, wovon ist diese abhängig und wo ist sie am größten? (goede-stiftung.org)

 

Für den Äquator und 10300 Meter Flughöhe komme ich auf 9.7491 m/s² 

Für den 45ten Breitengrad und 10300 Meter Flughöhe auf 9.7761 m/s²  (ergibt eine Reichweite von 9026.5 km)

Für den Pol und 10300 Meter Flughöhe auf 9.8011 m/s² 

Bearbeitet 18. Februar von Dierk

[JaquesB]

Also die 9.7749 hab ich der in der Lösung vorgegeben Berechnung für ca entnommen. 

[Dierk]

ok vielleicht weiss jemand anders mehr, ich wüsste nicht wo noch eine Korrektur erforderlich wäre.

 

Laut diesem Paper ist die Breguet Formel sowieso mit 10 % Ungenauigkeit behaftet, wenn empirisch überprüft.

 

Schon die Variabilität von g in Abhängigkeit vom Flugweg, die Höhenänderung bei abnehmendem Treibstoff und die Zunahme der Fluggeschwindigkeit sowie die Abnahme von g bei weiterer Höhenzunahme bleiben unberücksichtigt; vor allem aber der Kraftstoffverbrauch, bis die Reiseflughöhe überhaupt erreicht ist. Das alles spielt für die Aufgabe wohl aber keine Rolle. Ein interessantes Thema. 

 

[ArminZ]

Genau. Die Formel ist eine gute Annäherung, aber nicht mehr (s. Wiki).
Irgendwo taucht auch eine Machzahl-Korrektur auf. Da kann jeder selber weiterforschen.

EDIT:
-Gibts denn noch weitere Anhänge/Tabellen, die Du noch nicht erwähnt hast?

-Steht die Frage im Zusammenhang mit anderen Fragen (Frageserie)?

-Hintergrund der Fragen? Finde es etwas komisch, dass Du einerseits eine recht komplexe Frage beantworten sollst, und andrerseits die Standard-Atmoshpäre ein Fragezeichen für Dich ist.

 

Quote

Für Flüge im schallnahen Bereich (Ma>0,7) ist die Fluggeschwindigkeit v entsprechend v = Ma·a zu korrigieren, wobei Ma die Machzahl und a die Schallgeschwindigkeit in der Flughöhe ist. Bei einer Veränderung von einem oder mehreren Flugparametern während des Reisefluges stellt die Breguet’sche Formel lediglich eine mehr oder weniger genaue Näherung dar

 

Bearbeitet 18. Februar von ArminZ

[ArminZ]

1 hour ago, JaquesB said:

Also die 9.7749 hab ich der in der Lösung vorgegeben Berechnung für ca entnommen. 

Zeig uns doch mal die in der Lösung vorgegebene Berechnung....

[JaquesB]

vor 6 Stunden schrieb ArminZ:

Genau. Die Formel ist eine gute Annäherung, aber nicht mehr (s. Wiki).
Irgendwo taucht auch eine Machzahl-Korrektur auf. Da kann jeder selber weiterforschen.

EDIT:
-Gibts denn noch weitere Anhänge/Tabellen, die Du noch nicht erwähnt hast?

-Steht die Frage im Zusammenhang mit anderen Fragen (Frageserie)?

-Hintergrund der Fragen? Finde es etwas komisch, dass Du einerseits eine recht komplexe Frage beantworten sollst, und andrerseits die Standard-Atmoshpäre ein Fragezeichen für Dich ist.
 

 

Die Aufgabe ist Teil eines Wahlpflichtkurses in der Uni und stellt quasi eine Möglichkeit für Bonus Punkte da. Also ich befinde mich jetzt nicht in einer Art Ausbildung oder ähnliches die in eine derartige Richtung geht wodurch ich halt nur sehr oberflächliches Wissen über das Thema habe. Für mich klang das Fach einfach interessant und ist wie meisten Wahlpflichtkurse bei mir eher ein Lückenfüller als dass es mit meinem eigentlichen Studium zusammenhängt. 

In der Lösung ist der gesuchte Teil leider nur mit einem Ergebnis angegeben aber ohne Rechenweg, die von mir angesprochene Rechnung in der Lösung soll wohl ein kleiner Tipp sein und beinhaltet die Berechnung zum Auftriebsbeiwert Ca=(2*m*g)/(p*v^2*Fref)=(2*250 000*9.7749)/(0,3976*244^2*300)=0,68824. Machzahl habe ich mal gehört aber sagt mir jetzt so aus dem Stegreif tatsächlich erstmal nichts.

 

[JaquesB]

Tatsächlich gibt es noch eine Folgefrage, bei der mit einer vorgegebenen Reichweite die nötige Kraftstoff Menge ausgerechnet werden soll

[ArminZ]

OK, alles klar. 
g wird also als 9.7749 gesetzt (ganz ähnlich wie Dierk hat brechnen lassen), und das ist der Hauptgrund für die Abweichung.

Damit: R = 244* 0.6882 / 0.0382 / (9.7749 * 0.000015 ) * ln (250 / 185)  = 9027 km
Die Abweichung zu 9025 km (Resultat in Deinen Unterlagen) ist wirklich minimal:  9027/9025 = 1.0002, also zwei Zehntel eines Promilles. Für mich (aus technischer Sicht) sind die Werte identisch.

(Übrigens wird der Auftriebsbeiwert in deinem ersten Posting als 0.6882 gezeigt, in der Berechnung/Lösung für Ca als 0.68824. Also schon hier gibt es Rundungsdifferenzen)

 

Bearbeitet 19. Februar von ArminZ

[JaquesB]

Dann scheint es ja soweit richtig gewesen zu sein bzw. es lag dann wohl an den eingesetzten Werten. Vielen Dank für eure Hilfe und Bemühungen ihr habt mir sehr geholfen danke dafür.